Cyklometrické funkcie

V nasledujúcich príkladoch budeme vyšetrovať priebeh cyklometrických funkcií a kresliť ich grafy. Sú to funkcie definované predpisom $$y = \arcsin x$$ $$y = \arccos x$$ $$y = \arctan x.$$ Cyklometrické funkcie sú inverzné ku goniometrickým funkciám. Platí totiž $$y = \arcsin x \leftrightarrow x = \sin y$$ $$y = \arccos x \leftrightarrow x = \cos y$$ $$y = \arctan x \leftrightarrow x = \tan y.$$

Pri vyšetrovani priebehu každej takejto funkcie nás tu zaujímajú predovšetkým tieto informácie:

  • obor definície funkcie;
  • intervaly, na ktorých je funkcia monotónna;
  • asymptoty grafu funkcie;
  • globálne a lokálne extrémy funkcie;
  • nulové body funkcie.

Dokumentácia:

In [1]:
import numpy as np
%matplotlib inline
import matplotlib.pyplot as plt
from maux import *

Príklad

Nakreslenie grafu funkcie $$y = \arcsin x.$$

In [2]:
#### vstupné údaje
def f(X): return np.arcsin(X)
X = np.linspace(-1, 1, 2*100+1)
Y = f(X)

#### obrázok s jedným diagramom
fig, ax = plt.subplots()
fig.set_size_inches(4, 5)

### diagram
init_subplot(ax)
ax.set_title(r"Graf funkcie $y = \arcsin\ x$")

## graf funkcie
ax.plot(X, Y)

## 1. súradnicová os
ax.set_xticks([-1, 0, 1])

## 2. súradnicová os
ytick_numerators = [-1, 0, 1]
ax.set_yticks([n * np.pi / 2  for n in ytick_numerators])
ax.set_yticklabels([smart_tick(n, r"\pi", 2)  for n in ytick_numerators])

## spoločné nastavenia pre obe osi
ax.axis('equal')

### archivácia obrázka
#plt.savefig("ex04_2_1.png")

### samotné zobrazenie
plt.show()
plt.close('all')

Úloha

Nakreslite graf funkcie $$y = \arccos{x}.$$

Úloha

Nakreslite graf funkcie $$y = \arctan{x}.$$

Úloha

Vyšetrite priebeh a nakreslite graf funkcie $$y = \frac{\arcsin{x}}{x}.$$

Úloha (5 bodov)

Vyšetrite priebeh a nakreslite graf funkcie $$y = \frac{\arctan{x}}{x}.$$ Zostrojte dotyčnicu grafu funkcie v bode $x = -5$.